3.2.- El análisis de varianza

Suponga que se tienen a tratamientos o niveles diferentes de un solo factor que quieren compararse. La respuesta observada de cada uno de los a tratamientos es una variable aleatoria. Los datos aparecerían como en la tabla 3-2. Una entrada de la tabla 3-2 (por ejemplo, ) representa la observación j-ésima tomada bajo el nivel del factor o tratamiento i. Habrá, en general, n observaciones bajo el tratamiento i-ésimo. Observe que la tabla 3-2 es el caso general de los datos del experimento de la resistencia a la tensión de la tabla 3-1.

Modelos para los datos

Se encontrará útil describir las observaciones de un experimento con un modelo. Una manera de escribir este modelo es: 

Donde  es la observación ij-ésima,  es la media del nivel del factor o tratamiento i-ésimo, y es un componente del error aleatorio que incorpora todas las demás fuentes de variabilidad del experimento, incluyendo las mediciones, la variabilidad que surge de factores no controlados, las diferencias entre las unidades experimentales (como los materiales de prueba, etc.) a las que se aplican los tratamientos, y el ruido de fondo general en el proceso (ya sean la variabilidad con el tiempo, los efectos de variables ambientales, etc.). Es conveniente considerar que los errores tienen media cero, de tal modo que E() =.

A la ecuación 3-1 se le llama el modelo de las medias. Una forma alternativa de escribir un modelo de los datos es definiendo:

de tal modo que la ecuación 3-1 se convierte en:

En esta forma del modelo, es un parámetro común a todos los tratamientos al que se llama la media global, y  es un parámetro único del tratamiento i-ésimo al que se le llama el efecto del tratamiento i-ésimo.

A la ecuación 3-2 se le llama por lo general el modelo de los efectos.

Tanto el modelo de las medias como el de los efectos son modelos estadísticos lineales; es decir, la variable de respuesta es una función lineal de los parámetros del modelo. Aun cuando ambas formas del modelo son útiles, el modelo de los efectos se encuentra con mayor frecuencia en la literatura del diseño experimental. Tiene cierto atractivo intuitivo por cuanto es una constante y los efectos de los tratamientos representan desviaciones de esta constante cuando se aplican los tratamientos específicos.

A la ecuación 3-2 (o a la 3-1) se le llama también el modelo del análisis de varianza simple o de un solo factor (o dirección), porque únicamente se investiga un factor. Además, será un requisito que el experimento se lleve a cabo en orden aleatorio para que el ambiente en el que se apliquen los tratamientos (llamados con frecuencia unidades experimentales) sea lo más uniforme posible. Por lo tanto, el diseño experimental es un diseño completamente aleatorizado. Los objetivos serán probar las hipótesis apropiadas acerca de las medias de los tratamientos y estimarlas. Para probar las hipótesis, se supone que los errores del modelo son variables aleatorias que siguen una distribución normal e independiente con media cero y varianza . Se supone asimismo que la varianza es constante para todos los niveles del factor.

Esto implica que las observaciones:

y que las observaciones son mutuamente independientes.

¿Factor fijo o aleatorio?

El modelo estadístico (ecuación 3-2) describe dos situaciones diferentes con respecto a los efectos de los tratamientos. Primera, los  tratamientos pudieron ser elegidos expresamente por el experimentador. En esta situación quieren probarse hipótesis acerca de las medias de los tratamientos, y las conclusiones se aplicarán únicamente a los niveles del factor considerados en el análisis. Las conclusiones no pueden extenderse a tratamientos similares que no fueron considerados explícitamente. También se podría querer estimar los parámetros del modelo . A éste se le llama el modelo con efectos fijos. De manera alternativa, los a tratamientos podrían ser una muestra aleatoria de una población más grande de tratamientos. En esta situación sería deseable poder extender las conclusiones (las cuales se basan en la muestra de los tratamientos) a la totalidad de los tratamientos de la población, sea que se hayan considerado explícitamente en el análisis o no. Aquí las son variables aleatorias, y el conocimiento de las particulares que se investigaron es relativamente inútil. Más bien, se prueban hipótesis acerca de la variabilidad de las y se intenta estimar su variabilidad. A éste se le llama el modelo con efectos aleatorios o modelo de los componentes de la varianza. La revisión de experimentos con factores aleatorios se pospondrá hasta el capítulo 12.