3.5.1.- Un modelo de regresión

Los factores que intervienen en un experimento pueden ser cuantitativos o cualitativos. Un factor cuantitativo es aquel cuyos niveles pueden asociarse con puntos en una escala numérica, como la temperatura, la presión o el tiempo. Los factores cualitativos, por otra parte, son aquellos cuyos niveles no pueden ordenarse por magnitud. Los operadores, los lotes de materia prima y los cambios de tumo son factores cualitativos típicos, ya que no existe ninguna razón para ordenarlos bajo algún criterio numérico particular.

En lo que se refiere al diseño inicial y al análisis del experimento, ambos tipos de factores se tratan de manera idéntica. El experimentador está interesado en determinar las diferencias, en caso de haberlas, entre los niveles de los factores. Si el factor es cualitativo, como los operadores, no tiene sentido considerar la respuesta de una corrida subsecuente en un nivel intermedio del factor. Sin embargo, con un factor cuantitativo como el tiempo, el experimentador tiene interés por lo general en el rango completo de los valores usados, particularmente la respuesta de una corrida subsecuente con un nivel intermedio del factor. Es decir, si se usan los niveles 1.0, 2.0 y 3.0 en el experimento, tal vez quiera predecir la respuesta de 2.5 horas. Por lo tanto, el experimentador tiene con frecuencia interés en desarrollar una ecuación de interpolación para la variable de respuesta del experimento. Esta ecuación es un modelo empírico del proceso que se ha estudiado. 

Al enfoque general para ajustar modelos empíricos se le llama análisis de regresión, el cual se analiza en detalle en el capítulo 10. Véase también el material suplementario del texto para este capítulo.

En la figura 3-10 se presenta el diagrama de dispersión de la resistencia a la tensión y contra el peso porcentual del algodón x en la tela para el experimento del ejemplo 3-1. 

Los círculos huecos de la gráfica son las resistencias de tensión promedio para cada valor x del peso porcentual del algodón. A partir del examen del diagrama de dispersión, es evidente que la relación entre la resistencia a la tensión y el peso porcentual del algodón no es lineal. Como una primera aproximación, podría intentarse ajustar un modelo cuadrático para los datos, por ejemplo:

donde  son parámetros desconocidos que deberán estimarse y es un término del error aleatorio. El método que se usa con mayor frecuencia para estimarlos parámetros en un modelo como éste es el método de mínimos cuadrados. Éste consiste en elegir estimaciones de las  tales que minimicen la suma de cuadrados de los errores (las ). El ajuste de mínimos cuadrados en el ejemplo que se considera aquí es:

(Si el lector no está familiarizado con los métodos de regresión, vea el 'capítulo 10 y el material suplementario del texto para este capítulo.) En la figura 3-10 se muestra este modelo cuadrático. No parece muy satisfactorio, ya que subestima de manera drástica las respuestas para x = 30% de algodón y sobrestima las respuestas para x = 25%. Quizá pueda lograrse un mejoramiento agregando un término cúbico en x. El ajuste con el modelo cúbico resultante es:

Este ajuste cúbico se ilustra también en la figura 3-10. El modelo cúbico parece mejor que el cuadrático porque proporciona un ajuste mejor para x = 25 y x = 30% de algodón.

En general, sería preferible hacer el ajuste con el polinomio de orden menor que describa adecuadamente el sistema o proceso. En este ejemplo, el polinomio cúbico parece un mejor ajuste que el cuadrático, por lo que la complejidad adicional del modelo cúbico se justifica. Sin embargo, seleccionar el orden del polinomio de aproximación no siempre es fácil, y es relativamente sencillo excederse en el ajuste, es decir, agregar polinomios de orden superior que no mejoran en realidad el ajuste pero que incrementan la complejidad del modelo y con frecuencia demeritan su utilidad como predictor o ecuación de interpolación.

En este ejemplo, el modelo empírico podría usarse para predecir la resistencia a la tensión media para los valores del peso porcentual del algodón dentro de la región de experimentación. En otros casos, el modelo empírico podría usarse para la optimización del proceso, es decir, para encontrar los niveles de las variables del diseño que dan como resultado los mejores valores de la respuesta. Más adelante se analizarán e ilustrarán en detalle estos problemas.