3.5.6.- Método de Scheffé para comparar todos los contrastes

En muchas situaciones, los experimentadores pueden no conocer de antemano cuáles son los contrastes que quieren comparar, o pueden tener interés en más de -1 posibles comparaciones. En muchos experimentos de exploración, las comparaciones de interés sólo se descubren después del examen preliminar de los datos. Scheffé [98a] ha propuesto un método para comparar todos y cada uno de los contrastes posibles entre las medias de los tratamientos. En el método de Scheffé, el error tipo I es a lo sumo  para cualquiera de las comparaciones posibles.

Suponga que se ha determinado un conjunto de contrastes:

en las medias de los tratamientos de interés. El contraste correspondiente de los promedios de los tratamientos  es: 

y el error estándar de este contraste es:

donde  es el número de observaciones en el tratamiento i-ésimo. Puede demostrarse que el valor crítico contra el que deberá compararse es:

Para probar la hipótesis de que el contraste  difiere de manera significativa de cero, se compara  con el valor crítico. Si , se rechaza la hipótesis de que el contraste  es igual a cero. El procedimiento de Scheffé puede usarse también para formar intervalos de confianza para todos los contrastes posibles entre las medias de los tratamientos. Los intervalos resultantes, por ejemplo -, son intervalos de confianza simultáneos por cuanto la probabilidad de que todos ellos sean verdaderos simultáneamente es al menos 1 - .

Para ilustrar el procedimiento, considere los datos del ejemplo 3-1 y suponga que los contrastes de interés son:

y

Los valores numéricos de estos contrastes son:

y

y los errores estándar se encuentran con la ecuación 3-33 como:

y

Por la ecuación 3-34, los valores críticos de 1% son:

y

Puesto que , se concluye que el contraste  es igual a cero; es decir, no existe evidencia sólida para concluir que las medias de los tratamientos 1 y 3 como grupo difieren de las medias de los tratamientos 4 y 5 como grupo. Sin embargo, como  se concluye que el contraste  no es igual a cero; es decir, las resistencias medias de los tratamientos 1y 4 difieren significativamente.

En muchas situaciones prácticas, querrán compararse sólo pares de medias. Frecuentemente, es posible determinar cuáles son las medias que difieren probando las diferencias entre todos los pares de medias de los tratamientos. Por lo tanto, el interés se encuentra en los contrastes de la forma  para toda . Aun cuando el método de Scheffé podría aplicarse fácilmente a este problema, no es el procedimiento más sensible para tales comparaciones. Se pasa ahora a la consideración de los métodos diseñados específicamente para las comparaciones por pares entre todas las a medias poblacionales.