3.7.1.- Curvas de operación característica

Recuerde que una curva de operación característica es una gráfica de la probabilidad del error tipo II de una prueba estadística para un tamaño de la muestra particular contra un parámetro que refleja la medida en que la hipótesis nula es falsa. El experimentador puede usar estas curvas como guía en la selección del número de réplicas para que el diseño sea sensible a diferencias potenciales importantes en los tratamientos.

Se considera la probabilidad del error tipo II del modelo con efectos fijos para el caso en que se usa el mismo tamaño de las muestras en cada tratamiento, por ejemplo:

Para evaluar el enunciado de probabilidad de la ecuación 3-47, es necesario conocer cuál es la distribución del estadístico de prueba  si la hipótesis nula es falsa. Puede demostrarse que, si  es falsa, el estadístico  se distribuye como una variable aleatoria no central con  y  grados de libertad y parámetro de no centralidad . Si , la distribución  no central se convierte en la distribución (central) común.

Las curvas de operación característica que se presentan en la parte V del apéndice se usan para evaluar el enunciado de probabilidad de la ecuación 3-47. En estas curvas se grafica la probabilidad del error tipo II contra un parámetro , donde:

La cantidad  está relacionada con el parámetro de no centralidad . Se cuenta con curvas para  y  Yun rango de grados de libertad para el numerador y el denominador.

Al usar las curvas de operación característica, el experimentador debe especificar el parámetro .

Con frecuencia es difícil hacer esto en la práctica. Una manera de determinar  es elegir los valores reales de las medias de los tratamientos para los que querría rechazarse la hipótesis nula con una alta probabilidad. Por lo tanto, si  son las medias de los tratamientos especificadas, la  de la ecuación 3-48 se encuentra como , donde  es el promedio de las medias de los tratamientos individuales. Se requiere asimismo una estimación de . En ocasiones se cuenta con este valor por experiencia previa, un experimento anterior o una prueba preliminar (como se sugirió en el capítulo 1), o por una estimación discrecional. Cuando no se tiene la seguridad acerca del valor de , los tamaños de las muestras podrían determinarse para un rango de valores posibles de , a fin de estudiar el efecto de este Parámetro sobre el tamaño de la muestra requerido, antes de hacer la elección final.

El único problema con este enfoque para usar las curvas de operación característica es que por lo general es difícil seleccionar el conjunto de las medias de los tratamientos en el que se basará la decisión del tamaño de la muestra. Un enfoque alternativo es seleccionar un tamaño de la muestra tal que, si la diferencia entre las medias de dos tratamientos cualesquiera excede un valor especificado, la hipótesis nula deberá rechazarse. Si la diferencia entre las medias de dos tratamientos cualesquiera es tan grande como , puede demostrarse que el valor mínimo de  es:

Puesto que éste es un valor mínimo de , el tamaño de la muestra correspondiente que se obtiene de la curva de operación característica es un valor conservador; es decir, proporciona una potencia al menos tan grande como la que especificó el experimentador.

Para ilustrar este enfoque, suponga que en el experimento de la resistencia a la tensión del ejemplo 3-1, el experimentador quisiera rechazar la hipótesis nula con una probabilidad de al menos 0.90 si las medias de dos tratamientos cualesquiera difieren hasta en 10 psi. Entonces, suponiendo que psi, se encuentra que el valor mínimo de  es:

y, por el análisis del ejemplo 3-11, se concluye que se necesitan  réplicas para obtener la sensibilidad deseada cuando .