5.1.- Definiciones y principios básicos

En muchos experimentos interviene el estudio de los efectos de dos o más factores. En general, los diseños factoriales son los más eficientes para este tipo de experimentos. Por diseño factorial se entiende que en cada ensayo o réplica completa del experimento se investigan todas las combinaciones posibles de los niveles de los factores. Por ejemplo, si el factor  tiene  niveles y el factor  tiene  niveles, cada réplica contiene todas las  combinaciones de los tratamientos. Cuando los factores están incluidos en un diseño factorial, es común decir que están cruzados.

El efecto de un factor se define como el cambio en la respuesta producido por un cambio en el nivel del factor. Con frecuencia se le llama efecto principal porque se refiere a los factores de interés primario en el experimento. Por ejemplo, considere el experimento sencillo de la figura 5-1. Se trata de un experimento factorial de dos factores en el que los dos factores del diseño tienen dos niveles. A estos niveles se les ha denominado "bajo" y "alto" y se denotan como "-" y "+", respectivamente. El efecto principal del factor  de este diseño de dos niveles puede visualizarse como la diferencia entre la respuesta promedio con el nivel bajo de  y la respuesta promedio con el nivel alto de . Numéricamente, esto es:

Es decir, cuando el factor  se incrementa del nivel bajo al nivel alto se produce un incremento de la respuesta promedio de 21 unidades. De manera similar, el efecto principal de  es:

Cuando los factores tienen más de dos niveles, es necesario modificar el procedimiento anterior, ya que existen otras formas de definir el efecto de un factor. Este punto se estudia con mayor profundidad más adelante.

En algunos experimentos puede encontrarse que la diferencia en la respuesta entre los niveles de un factor no es la misma para todos los niveles de los otros factores. Cuando esto ocurre, existe una interacción entre los factores. Por ejemplo, considere el experimento factorial de dos factores que se ilustra en la figura 5-2. Con el nivel bajo del factor , el efecto de  es:

y con el nivel alto del factor , el efecto de  es:

Puesto que el efecto de  depende del nivel que se elige para el factor , se observa que existe una interacción entre  y . La magnitud del efecto de la interacción es la diferencia promedio de estos dos efectos de , o . Evidentemente, en este experimento la interacción es grande. 

Estas ideas pueden ilustrarse gráficamente. En la figura 5-3 se grafican los datos de las respuestas de la figura 5-1 contra el factor  para ambos niveles del factor . Observe que las rectas  y  son aproximadamente paralelas, lo cual indica la ausencia de interacción entre los factores  y . De manera similar, en la figura 5-4 se grafican los datos de las respuestas de la figura 5-2. En este caso se observa que las rectas  y  no son paralelas. Esto indica una interacción entre los factores  y . Gráficas como éstas son de gran ayuda para interpretar las interacciones significativas y para reportar los resultados al personal sin preparación estadística. Sin embargo, no deberán utilizarse como la única técnica para el análisis de datos, ya que su interpretación es subjetiva y su apariencia con frecuencia es engañosa.

El concepto de interacción puede ilustrarse de otra manera. Suponga que los dos factores del diseño tratado son cuantitativos (temperatura, presión, tiempo, etc.). Entonces una representación con un modelo de regresión del experimento factorial de dos factores podría escribirse como:

donde  es la respuesta, las  son parámetros cuyos valores deben determinarse,  es una variable que representa al factor ,  es una variable que representa al factor , y  es un término del error aleatorio. Las variables  y  se definen en una escala codificada de -1 a +1 (los niveles bajo y alto de  y ), y  representa la interacción entre  y .

Las estimaciones de los parámetros en este modelo de regresión resultan estar relacionadas con las estimaciones de los efectos. Para el experimento ilustrado en la figura 5-1 se encuentra que los efectos principales de  y  son  y . Las estimaciones de  y  2son la mitad del valor del efecto principal correspondiente; por lo tanto,  y . El efecto de la interacción de la figura 5-1 es , por lo que el valor del coeficiente de la interacción en el modelo de regresión es . El parámetro  se estima con el promedio de las cuatro respuestas, o . Por lo tanto, el modelo de regresión ajustado es:

Las estimaciones de los parámetros obtenidas de esta manera para el diseño factorial en el que todos los factores tienen dos niveles (- y +) resultan ser estimaciones de mínimos cuadrados (se abundará sobre el tema más adelante).

El coeficiente de la interacción  es pequeño en comparación con los coeficientes de los efectos principales . La interpretación que se hará de este hecho es que la interacción es pequeña y puede ignorarse. Por lo tanto, al eliminar el término  se obtiene el modelo:

En la figura S-S se muestran las representaciones gráficas de este modelo. En la figura se tiene una gráfica del plano de los valores de generados por las diferentes combinaciones de  y . A esta grafica tridimensional se le llama gráfica de superficie de respuesta. En la figura  se muestran las líneas de contorno para las respuestas constantes y en el plano ,. Observe que como la superficie de respuesta es un plano, la gráfica de contorno contiene líneas rectas paralelas.

Suponga ahora que la contribución de la interacción en el experimento no fuera insignificante; es decir, que el coeficiente  no fuera pequeño. En la figura 5-6 se presenta la superficie de respuesta y la gráfica de contorno del modelo:

(Se ha hecho que el efecto de la interacción sea el promedio de los dos efectos principales.) Observe que el efecto significativo de la interacción provoca el "torcimiento" del plano de la figura . Este torcimiento de la superficie de respuesta produce líneas de contorno curvas para las respuestas constantes en el plano ,, como se muestra en la figura . Por lo tanto, una interacción es una forma de curvatura en el modelo de superficie de respuesta fundamental del experimento.

El modelo de superficie de respuesta de un experimento es de gran importancia y utilidad. El tema se ampliará en la sección 5-5 y en capítulos posteriores.

En general, cuando una interacción es grande, los efectos principales correspondientes tienen escaso significado práctico. En el experimento de la figura 5-2, la estimación del efecto principal de  seria:

que es muy pequeño, y se llegaría a concluir que no hay ningún efecto debido a . Sin embargo, cuando se examinan los efectos de  con niveles diferentes del factor , se observa que no es éste el caso. El factor  tiene un efecto, pero depende del nivel del factor . Es decir, el conocimiento de la interacción  es más útil que el conocimiento del efecto principal. Una interacción significativa suele enmascarar la significación de los efectos principales. Estos puntos se ponen de manifiesto con claridad en la gráfica de la interacción de la figura 5-4. En presencia de una interacción significativa, el experimentador deberá por lo general examinar los niveles de uno de los factores, por ejemplo, del factor , manteniendo fijos los niveles de los otros factores para sacar conclusiones acerca del efecto principal de .