5.3.1.- Un ejemplo (Diseño factorial de dos factores)

Los tipos más simples de diseños factoriales incluyen únicamente dos factores o conjuntos de tratamientos. Hay  niveles del factor  y  niveles del factor , los cuales se disponen en un diseño factorial; es decir, cada réplica del experimento contiene todas las  combinaciones de los tratamientos. En general, hay  replicas.

Como ejemplo de un diseño factorial en el que intervienen dos factores, un ingeniero está diseñando una batería que se usará en un dispositivo que se someterá a variaciones de temperatura extremas. El único parámetro del diseño que puede seleccionar en este punto es el material de la placa o ánodo de la batería, y tiene tres elecciones posibles. Cuando el dispositivo esté fabricado y se envíe al campo, el ingeniero no tendrá control sobre las temperaturas extremas en las que operará el dispositivo, pero sabe por experiencia que la temperatura probablemente afectará la vida efectiva de la batería. Sin embargo, la temperatura puede controlarse en el laboratorio donde se desarrolla el producto para fines de prueba.

El ingeniero decide probar los tres materiales de la placa con tres niveles de temperatura -15, 70 y 125°F-, ya que estos niveles de temperatura son consistentes con el medio ambiente donde se usará finalmente el producto. Se prueban cuatro baterías con cada combinación del material de la placa y la temperatura, y las 36 pruebas se corren de manera aleatoria. En la tabla 5-1 se presentan los datos del experimento y de la vida observada de la batería.

En este problema, el ingeniero quiere responder las preguntas siguientes:

1.- ¿Qué efectos tienen el tipo de material y la temperatura sobre la vida de la batería?

2.- ¿Existe alguna elección del material que produzca de manera regular una vida larga de la batería independientemente de la temperatura?

La segunda pregunta es de particular importancia. Quizá sea posible encontrar una alternativa del material que no resulte afectada considerablemente por la temperatura. De ser éste el caso, el ingeniero puede hacer que la batería sea robusta para la variación de la temperatura en el campo. Se trata de un ejemplo de la aplicación del diseño experimental estadístico en el diseño de productos robustos, un problema de ingeniería muy importante.

El anterior es un ejemplo específico del caso general de un diseño factorial de dos factores. Para pasar al caso general, sea  la respuesta observada cuando el factor  tiene el nivel i-ésimo  y el factor  tiene el nivelj-ésimo  en la réplicak-ésima . En general, el experimento factorial de dos factores aparecerá como en la tabla 5-2. El orden en que se hacen las observaciones se selecciona al azar, por lo que este diseño es un diseño completamente aleatorizado.

Las observaciones de un experimento factorial pueden describirse con un modelo. Hay varias formas de escribir el modelo de un experimento factorial. El modelo de los efectos es:

donde  es el efecto promedio global,  es el efecto del nivel i-ésimo del factor  de los renglones,  es el efecto del nivelj-ésimo del factor  de las columnas, es el efecto de la interacción entre  y , y  es un componente del error aleatorio. Se supone que ambos factores son fijos, y los efectos de los tratamientos se definen como las desviaciones de la media global, por lo que . De manera similar, los efectos de las interacciones son fijos y se definen de tal modo que .

Puesto que hay réplicas del experimento, hay  observaciones en total.

Otro modelo posible de un experimento factorial es el modelo de las medias:

donde la media de la celda ij-ésima es:

También podría usarse un modelo de regresión como en la sección 5-1. Los modelos de regresión resultan particularmente útiles cuando uno o más de los factores del experimento son cuantitativos. En la mayor parte de este capítulo se usará el modelo de los efectos (ecuación 5-1) con referencia al modelo de regresión en la sección 5-5.

En el diseño factorial de dos factores, los factores (o tratamientos) de los renglones y las columnas,  y , son de igual interés. Específicamente, el interés se encuentra en probar hipótesis acerca de la igualdad de los efectos de los tratamientos de los renglones, por ejemplo:

de la igualdad de los efectos de los tratamientos de las columnas, por ejemplo:

También existe interés en determinar si los tratamientos de los renglones y las columnas interactúan. Por lo tanto, también querría probarse:

A continuación, se indica cómo se prueban estas hipótesis utilizando un análisis de varianza de dos factores.