5.3.4.- Estimación de los parámetros del modelo

Los parámetros del modelo de los efectos para el diseño factorial de dos factores:

Pueden estimarse por mínimos cuadrados. Puesto que el modelo tiene  parámetros que deben estimarse, hay  ecuaciones normales. Al utilizar el método de la sección 3-9, no es difícil demostrar que las ecuaciones normales son:

Por conveniencia, el parámetro que corresponde a cada ecuación normal se indica a la izquierda de las ecuaciones 5-14.

El modelo de los efectos (ecuación 5-13) está sobre parametrizado. Observe que la suma de las  ecuaciones de la ecuación 5-14b es igual a la ecuación 5-14a y que la suma de las  ecuaciones de la ecuación 5-14c es igual a la ecuación 5-14a. Asimismo, la operación suma de la ecuación 5-14d sobre j para una i particular dará la ecuación 5-14b, y la operación suma de la ecuación 5-14d sobre i para una j particular dará la ecuación 5-14c. Por lo tanto, hay  dependencias lineales en este sistema de ecuaciones y no existirá ninguna solución única. A fin de obtener una solución, se imponen las restricciones:

y

Las ecuaciones 5-15a y 5-15b constituyen dos restricciones, mientras que las ecuaciones 5-15c y 5-15d forman  restricciones independientes. Por lo tanto, se tienen en total  restricciones, el número que se requiere.

Al aplicar estas restricciones, las ecuaciones normales (ecuaciones 5-14) se simplifican considerablemente, y se obtiene la solución:

Observe el gran atractivo intuitivo de esta solución de las ecuaciones normales. Los efectos de los tratamientos de los renglones se estiman con el promedio del renglón menos el gran promedio; los tratamientos de las columnas se estiman con el promedio de la columna menos el gran promedio, y la interacción ij-ésima se estima con el promedio de la celda ij-ésima menos el gran promedio, el efecto del renglón i-ésimo y el efecto de la columna j-ésima.

Al utilizar la ecuación 5-16, el valor ajustado puede encontrarse como:

Es decir, la observación k-ésima de la celda ij-ésima se estima con el promedio de las n observaciones de esa celda. Este resultado se usó en la ecuación 5-12 para obtener los residuales del modelo factorial de dos factores.

Puesto que se han usado restricciones (ecuaciones 5-15) para resolver las ecuaciones normales, los parámetros del modelo no tienen estimaciones únicas. Sin embargo, ciertas funciones importantes de los parámetros del modelo son estimables, es decir, tienen una estimación única independientemente de las restricciones elegidas. Un ejemplo es , que podría considerarse como la "verdadera" diferencia entre los niveles i-ésimo y u-ésimo del factor . Observe que la verdadera diferencia entre los niveles de cualquier efecto principal incluye un efecto de la interacción "promedio". Es este resultado el que perturba las pruebas de los efectos principales en presencia de una interacción, como se señaló anteriormente. En general, cualquier función de los parámetros del modelo que sea una combinación lineal del miembro izquierdo de las ecuaciones normales es estimable. Esta propiedad también se hizo notar en el capítulo 3 cuando se estudió el modelo de un solo factor. Para mayores detalles, ver el material suplementario del texto de este capítulo.