5.4.- Diseño factorial general

Los resultados del diseño factorial de dos factores pueden ampliarse al caso general en que hay  niveles del factor ,  niveles del factor , niveles del factor , etc., dispuestos en un experimento factorial. En general, habrá  observaciones totales si se hacen  réplicas del experimento completo. De nueva cuenta, observe que es necesario un mínimo de dos réplicas para determinar una suma de cuadrados debida al error si todas las interacciones posibles están incluidas en el modelo.

Cuando todos los factores del experimento son fijos, es sencillo formular y probar hipótesis acerca de los efectos principales y las interacciones. Para un modelo con efectos fijos, los estadísticos de prueba para cada efecto principal e interacción pueden construirse dividiendo el cuadrado medio correspondiente del efecto o interacción por el cuadrado medio del error. Todas estas pruebas serán de una cola superior. El número de grados de libertad de cualquier efecto principal es el número de niveles del factor menos uno, y el número de grados de libertad de una interacción es el producto del número de grados de libertad asociados con los componentes individuales de la interacción.

Por ejemplo, considere el modelo del análisis de varianza de tres factores:

Suponiendo que A, B y e son fijos, la tabla del análisis de varianza se presenta en la tabla 5-12. Las pruebas para los efectos principales y las interacciones se siguen directamente de los cuadrados medios esperados.

En general, los cálculos del análisis de varianza se efectuarían utilizando un paquete de software de estadística. Sin embargo, en ocasiones resultan útiles las fórmulas para calcular manualmente las sumas de cuadrados de la tabla 5-12. La suma de cuadrados total se encuentra de la manera acostumbrada como:

Las sumas de cuadrados de los efectos principales se encuentran a partir de los totales de los factores  de la siguiente manera:

Para calcular las sumas de cuadrados de las interacciones de dos factores, se necesitan los totales de las celdas A x B, A x C y B x C. Con frecuencia es útil desplegar la tabla de los datos originales en tres tablas de dos vías para calcular estas cantidades. Las sumas de cuadrados se encuentran con:

y

Observe que las sumas de cuadrados de los subtotales de dos factores se encuentran a partir de los totales de cada tabla de dos vías. La suma de cuadrados de la interacción de los tres factores se calcula a partir de los totales de las celdas  de tres vías como:

La suma de cuadrados del error puede encontrarse restando la suma de cuadrados de cada efecto principal e interacción de la suma de cuadrados total o con:

Se señaló ya que, si todos los factores de un experimento factorial son fijos, la construcción del estadístico de prueba es directa. El estadístico para probar cualquier efecto principal o interacción se forma siempre dividiendo el cuadrado medio del efecto principal o la interacción por el cuadrado medio del error. Sin embargo, si el experimento factorial incluye uno o más factores aleatorios, la construcción del estadístico de prueba no siempre se hace de esta manera. Es necesario examinar los cuadrados medios esperados para determinar las pruebas correctas. La revisión completa de los experimentos con factores aleatorios se pospone hasta el capítulo 12.