6.4.- El diseño general 2^k

Los métodos de análisis que se han presentado hasta este punto pueden generalizarse para el caso de un diseño factorial , es decir, un diseño con factores que tienen dos niveles cada uno. El modelo estadístico para un diseño incluiría k efectos principales, interacciones de dos factores,  interacciones de tres factores, ..., y una interacción de factores. Es decir, para un diseño el modelo completo contendría  - 1 efectos. También se usa aquí la notación introducida anteriormente para las combinaciones de los tratamientos. Por ejemplo, en un diseño , denota la combinación de tratamientos con los factores ,  y  en el nivel alto y los factores  y  en el nivel bajo. Las combinaciones de los tratamientos pueden escribirse en orden estándar introduciendo los factores uno a la vez y combinando sucesivamente cada nuevo factor con los que lo preceden. Por ejemplo, el orden estándar de un diseño es (1), , , , , , , , , , , , , ,  y .

El enfoque general para el análisis estadístico del diseño se resume en la tabla 6-8. Como se señaló anteriormente, suele emplearse un paquete de software de computadora en este proceso de análisis.

A estas alturas, la secuencia de pasos de la tabla 6-8 debe resultar familiar. El primer paso es estimar los efectos de los factores y examinar sus signos y magnitudes. De este modo el experimentador obtiene información preliminar respecto de los factores y las interacciones que pueden ser importantes, y en qué direcciones deberán ajustarse estos factores para mejor la respuesta. Para formar el modelo inicial del experimento, por lo general se elige el modelo completo, es decir, todos los efectos principales y las interacciones, siempre que se haya hecho una réplica de al menos uno de los puntos del diseño (en la sección siguiente se revisa una modificación de este paso). Después, en el paso 3 se usa el análisis de varianza para probar formalmente la significación de los efectos principales y las interacciones. En la tabla 6-9 se presenta la forma general de un análisis de varianza para un diseño factorial con réplicas. El paso 4, refinar el modelo, suele consistir en la eliminación de las variables no significativas del modelo completo. El paso 5 es el análisis residual usual para verificar la adecuación del modelo y los supuestos. En ocasiones ocurrirá una refinación del modelo después del análisis residual, si se encuentra que el modelo es inadecuado o que hay violaciones serias de los supuestos. El último paso consiste generalmente en el análisis gráfico: gráficas de los efectos principales o las interacciones, o superficies de respuesta y gráficas de contorno.

Aun cuando los cálculos descritos se realizan por lo general con una computadora, en ocasiones es necesario calcular manualmente la estimación de un efecto o la suma de cuadrados de un efecto. Para estimar un efecto o calcular la suma de cuadrados de un efecto, primero debe determinarse el contraste asociado con ese efecto. Esto puede hacerse siempre utilizando una tabla de signos positivos y negativos, como la tabla 6-2 o 6-3. Sin embargo, para valores grandes de  esto resulta laborioso, y puede usarse un método alternativo. En general, el contraste del efecto se determina expandiendo el miembro derecho de:

Para expandir la ecuación 6-21 se usa el álgebra ordinaria reemplazando "1" con (1) en la expresión final.

El signo de cada grupo de paréntesis es negativo si el factor está incluido en el efecto y es positivo si el factor no está incluido.

Para ilustrar el uso de la ecuación 6-21, considere un diseño factorial . El contraste de sería:

Como un ejemplo más, en un diseño , el contraste de sería:

Una vez que se han calculado los contrastes de los efectos, pueden estimarse los efectos y calcular las sumas de cuadrados de acuerdo con:

y

respectivamente, donde n denota el número de réplicas. Se cuenta también con un algoritmo tabular debido al Dr. Frank Yates que en ocasiones puede ser útil para el cálculo manual de las estimaciones de los efectos y las sumas de cuadrados. Referirse al material suplementario del texto de este capítulo.