7.4.- Confusión del diseño factorial 2^k en dos bloques

Suponga que quiere correrse una sola réplica del diseño  Cada una de las = 4 combinaciones de los tratamientos requieren una cantidad de materia prima, por ejemplo, y cada lote de materia prima sólo alcanza para probar dos combinaciones de tratamientos. Por lo tanto, se necesitan dos lotes de materia prima. Si los lotes de materia prima se consideran como bloques, entonces deben asignarse a cada bloque dos de las cuatro combinaciones de tratamientos.

En la figura 7-1 se muestra uno de los diseños posibles para este problema. La vista geométrica, figura 7-1a, indica que las combinaciones de tratamientos localizadas en diagonales opuestas se asignan a bloques diferentes. Observe, por la figura 7-1b, que el bloque 1 contiene las combinaciones de los tratamientos (1) y y que el bloque 2 contiene- y . Desde luego, el orden en que se corren las combinaciones de los tratamientos dentro de un bloque se determina aleatoriamente. También se decidirá aleatoriamente cuál de los bloques se correrá primero. Suponga que los efectos principales de  y  se estiman como si no se hubiera hecho la formación de bloques. Por las ecuaciones 6-1 y 6-2 se obtiene:

Observe que ni  ni son afectados por la formación de bloques, debido a que en cada estimación hay una combinación de un tratamiento positivo y uno negativo de cada bloque. Es decir, cualquier diferencia entre el bloque 1 y el bloque 2 se cancela.

Considere ahora la interacción :

Puesto que las dos combinaciones de tratamientos con signo positivo [ y (1)] están en el bloque 1 y las dos con signo negativo ( y ) están en el bloque 2, el efecto de los bloques y la interacción son idénticos. Es decir,  está confundido (o mezclado) con los bloques.

La razón de esto es evidente en la tabla de signos positivos y negativos del diseño . Se presentó originalmente en la tabla 6-2, pero por conveniencia se repite como la tabla 7-3. A partir de esta tabla se observa que todas las combinaciones de tratamientos que tienen signo positivo para se asignan al bloque 1, mientras que todas las combinaciones de tratamientos que tienen signo negativo para se asignan al bloque 2. Este enfoque puede usarse para confundir o mezclar cualquier efecto (, o ) con los bloques. Por ejemplo, si (1) y se hubieran asignado al bloque 1 y y al bloque 2, el efecto principal de  se habría confundido con los bloques. La práctica usual es confundir la interacción de orden más alto con los bloques.

Este esquema puede usarse para confundir o mezclar cualquier diseño en dos bloques. Como un segundo ejemplo, considere un diseño que se corre en dos bloques. Suponga que se quiere confundirla interacción de los tres factores con los bloques. Por la formación de signos positivos y negativos de la tabla 7-4, las combinaciones de tratamientos que son negativas para  se asignan al bloque 1y las que son positivas para  al bloque 2. El diseño resultante se muestra en la figura 7-2. De nueva cuenta se resalta que las combinaciones de tratamientos dentro de un bloque se corren de manera aleatoria.

Otros métodos para construir bloques

Se cuenta con otro método para construir estos diseños. El método utiliza la combinación lineal.

donde es el nivel del factor i-ésimo que aparece en una combinación de tratamientos particular y es el exponente que aparece en el factor i-ésimo para el efecto que va a confundirse. Para el sistema se tiene  o 1 y  (nivel bajo) o (nivel alto). Ala ecuación 7-1 se le llama la definición de contrastes. Las combinaciones de tratamientos que producen el mismo valor de (mod 2) se colocarán en el mismo bloque. Puesto que los únicos valores posibles de  (mod 2) son 0 y 1, con esto las  combinaciones de tratamientos se asignarán a exactamente dos bloques.

Para ilustrar este enfoque, considere un diseño  con  confundido con los bloques. En este caso,  corresponde a , , , ===1. Por lo tanto, la definición del contraste correspondiente a  es:

La combinación de tratamientos (1) se escribe 000 en la notación (O, 1); por lo tanto,

De manera similar, la combinación de tratamientos a es 100, obteniéndose:

Por lo tanto, (1) y se correrían en bloques diferentes. Para el resto de las combinaciones de tratamientos se tiene:

Por lo tanto, (1), , , y  se corren en el bloque 1 y , , y se corren en el bloque 2. Se trata del mismo diseño que se ilustró en la figura 7-2, el cual se generó con la tabla de signos positivos y negativos.

Puede usarse otro método para construir estos diseños. Al bloque que contiene la combinación de tratamientos (1) se le llama el bloque principal. Las combinaciones de los tratamientos incluidas en este bloque poseen una útil propiedad de la teoría de grupos; a saber, forman un grupo con respecto a la multiplicación módulo 2. Esto implica que cualquier elemento [con excepción de (1)] del bloque principal pue. de generarse multiplicando otros dos elementos del bloque principal módulo 2. Por ejemplo, considere el bloque principal del diseño con confundido, como se muestra en la figura 7-2. Observe que:

Las combinaciones de tratamientos del otro bloque (o bloques) pueden generarse multiplicando uno de los elementos del nuevo bloque por cada uno de los elementos del bloque principal módulo 2. Para el diseña con confundido, puesto que el bloque principal es (1), , , y , se sabe que está en el otro bloque. Por lo tanto, los elementos de este segundo bloque son:

Estos resultados concuerdan con los que se obtuvieron anteriormente.

Estimación del error

Cuando el número de variables es pequeño, por ejemplo, = 2 o 3, por lo general es necesario hacer réplicas del experimento a fin de obtener una estimación del error. Por ejemplo, suponga que un diseño factorial debe correrse en dos bloques con  confundido, y el experimentador decide hacer cuatro réplicas del diseño. El diseño resultante podría verse como el de la figura 7-3. Observe que  está confundido en cada réplica.

En la tabla 7-5 se muestra el análisis de varianza de este diseño. Hay 32 observaciones y 31 grados de libertad. Además, puesto que hay ocho bloques, siete grados de libertad deben asociarse con estos bloques. En la tabla 7-5 se presenta la descomposición de esos siete grados de libertad. La suma de cuadrados del error se compone en realidad de las interacciones de dos factores entre las réplicas, y cada uno de

los efectos (, , , , , ). Por lo general es seguro considerar que las interacciones son cero y tratar el cuadrado medio resultante como una estimación del error. Los efectos principales y las interacciones de dos factores se prueban contra el cuadrado medio del error. Cochran y Cox [25b] hacen notar que el cuadrado medio del bloque o ABC podría compararse con el error del cuadrado medio , que es en realidad réplicas x bloques. Esta prueba suele tener una sensibilidad muy baja.

Si se cuenta con recursos suficientes para hacer réplicas de un diseño confundido, por lo general es mejor usar un método ligeramente diferente para diseñar los bloques en cada réplica. Este enfoque consiste en confundir un efecto diferente en cada réplica para obtener cierta información sobre todos los efectos. A este procedimiento se le llama confusión (o mezclado) parcial, y se estudia en la sección 7-7. Si  es moderadamente grande, por ejemplo , con frecuencia sólo es posible hacer una réplica. El experimentador suele suponer que las interacciones de órdenes superiores son insignificantes y combina sus sumas de cuadrados como el error. La gráfica de probabilidad normal de los efectos de los factores puede ser muy útil a este respecto.