7.5.- Confusión del diseño factorial 2^k en cuatro bloques

Es posible construir diseños factoriales confundidos en cuatro bloques con observaciones cada uno. Estos diseños son particularmente útiles en situaciones en las que el número de factores es moderadamente grande, por ejemplo, , Y el tamaño de los bloques es relativamente pequeño.

Como un ejemplo, considere el diseño . Si cada bloque incluirá únicamente ocho corridas, entonces deberán usarse cuatro bloques. La construcción de este diseño es relativamente directa. Se seleccionan dos efectos para confundirlos con los bloques, por ejemplo y . Estos efectos tienen las dos definiciones de contrastes:

asociadas con ellos. Entonces cada combinación de tratamientos producirá un par particular de valores de  (mod 2) y  (mod 2), es decir, cualquiera de = (O, O), (O, 1), (1, O) o bien (1,1). Las combinaciones de tratamientos que producen los mismos valores de  se asignan al mismo bloque. En el ejemplo tratado aquí se encuentra:

Estas combinaciones de tratamientos se asignarían a bloques diferentes. En la figura 7-5 se muestra el diseño completo.

Con un poco de reflexión, nos damos cuenta de que otro efecto además de y debe confundirse con los bloques. Puesto que hay cuatro bloques con tres grados de libertad entre ellos, y puesto que  y tienen un solo grado de libertad cada una, es evidente la necesidad de confundir un efecto adicional con un grado de libertad. Este efecto es la interacción generalizada de y , la cual se define como el producto de y módulo 2. Por lo tanto, en el ejemplo tratado aquí la interacción

generalizada () () = = también está confundido con los bloques. Es sencillo verificar esto refiriéndose a la tabla de signos positivos y negativos del diseño 25, como en Davies [36]. La inspección de esta tabla revela que las combinaciones de los tratamientos se asignan a los bloques de la siguiente manera:

Observe que el producto de los signos de dos efectos cualesquiera de un bloque particular (por ejemplo,  y ) produce el signo del otro efecto de ese bloque (en este caso, ). Por lo tanto, ,  y están confundidos con los bloques.

Las propiedades de la teoría de grupos del bloque principal mencionadas en la sección 7-4 siguen siendo válidas. Por ejemplo, se observa que el producto de dos combinaciones de tratamientos del bloque principal produce otro elemento del bloque principal. Es decir,

etcétera. Para construir otro bloque se selecciona una combinación de tratamientos que no esté en el bloque principal (por ejemplo, ), Y se multiplica por todas las combinaciones de tratamientos del bloque principal. Se obtiene así:

etcétera, lo que producirá las ocho combinaciones de tratamientos del bloque 3. En la práctica, el bloque principal puede obtenerse a partir de la definición de contrastes y de la propiedad de la teoría de grupos, y los demás bloques pueden determinarse a partir de estas combinaciones de los tratamientos aplicando el método que se presentó anteriormente.

El procedimiento general para construir un diseño confundido en cuatro bloques consiste en elegir dos efectos para generar los bloques, confundiéndose automáticamente un tercer efecto que es la interacción generalizada de las dos primeras. Después se construye el diseño utilizando las dos definiciones de contrastes  y las propiedades de la teoría de grupos del bloque principal. Al seleccionar los efectos que van a confundirse con los bloques, debe tenerse cuidado de obtener un diseño en el que no estén confundidos efectos que pueden ser de interés. Por ejemplo, en un diseño podría elegirse confundir  y , con lo cual se confunde automáticamente , un efecto que es de posible interés. Una mejor elección es confundir y , con lo cual se confunde automáticamente . Es preferible sacrificar información en las interacciones de tres factores y en lugar de la interacción de dos factores .