10.2.- Modelos de Regresión Lineal

La atención se centrará en el ajuste de modelos de regresión lineal. Para ilustrar, suponga que quiere desarrollarse un modelo empírico que relacione la viscosidad de un polímero con la temperatura y la velocidad de alimentación del catalizador. Un modelo que podría describir esta relación es
(10-1)

donde y representa la viscosidad, x₁ la temperatura y x₂ la velocidad de alimentación del catalizador. Se trata de un modelo de regresión lineal múltiple con dos variables independientes. Es común llamar a las variables independientes variables predictoras o regresores (variables de regresión). Se utiliza el término lineal porque la ecuación 10-1 es una función lineal de los parámetros desconocidos β₀, β₁ y β₂. El modelo describe un plano en el espacio bidimensional x₁ y x₂. El parámetro β₀ define la intersección del plano con el eje de las ordenadas. En ocasiones β₁ y β₂ se denominan los coeficientes de regresión parcial, porque β₁ mide el cambio esperado en y para cada cambio unitario de x₁ cuando x₂ se mantiene constante, y  β₂ mide el cambio esperado en y para cada cambio unitario de x₂ cuando x₁ se mantiene constante. 

En general, la variable de respuesta y puede relacionarse con k regresares. 

(10-2)

Al modelo se le llama modelo de regresión lineal múltiple con k regresares. A los parámetros β_j, j = O, 1, ..., k se les llama los coeficientes de regresión. Este modelo describe un hiperplano en el espacio de k dimensiones de los regresares {x_j}. El parámetro β_j representa el cambio esperado en la respuestay para un cambio unitario en x_j cuando las variables independientes restantes x_j (i ≠ j) se mantienen constantes. 

Con frecuencia los modelos cuya apariencia es más compleja que la ecuación 10-2 pueden también analizarse mediante técnicas de regresión lineal múltiple. Por ejemplo, considere la incorporación de un término de interacción en el modelo de primer orden en dos variables, por ejemplo

que es un modelo de regresión lineal múltiple estándar con tres regresares. Recuerde que en algunos ejemplos de los capítulos 6, 7 y 8 se presentaron varios modelos empíricos similares a las ecuaciones 10-2 y 10-4 para expresar cuantitativamente los resultados de un diseño factorial de dos niveles. Como otro ejemplo, considere el modelo de superficie de respuesta de segundo orden en dos variables:

que es un modeio de regresión lineal. Este modelo se ha visto también en ejemplos anteriores de este libro. En general, cualquier modelo de regresión que eslineal en los parámetros (los valores β) es un modelo de regresión lineal, independientemente de la forma de la superficie de respuesta que genera.

En este capítulo se resumirán los métodos para estimarlos parámetros de los modelos de regresión lineal múltiple. A este procedimiento suele llamársele el ajuste del modelo. Se analizarán también los métodos para probar hipótesis y para construir intervalos de confianza para estos modelos, así como para erificar la adecuación del ajuste del modelo. La atención se centra en los aspectos del análisis de regresión que son útiles en los experimentos diseñados. Para presentaciones más completas de la regresión, referirse a Montgomery y Peck [82] y Myers [84].