10.9.- Problemas

10-1. La resistencia a la tensión de un producto de papel se relaciona con la cantidad de madera dura en la pulpa.

Se producen 10 muestras en la planta piloto y los datos obtenidos se presentan en la siguiente tabla.

     a) Ajustar un modelo de regresión lineal que relacione la resistencia con el porcentaje de madera dura.

     b) Probar el modelo del inciso a para la significación de la regresión.

     c) Encontrar un intervalo de confianza de 95% para el parámetro β₁.

10-2. En una planta se destila aire líquido para producir oxígeno, nitrógeno y argón. Se piensa que el porcentaje de impurezas en el oxígeno se relaciona linealmente con la cantidad de impurezas en el aire, medida por el "conteo de contaminación" en partes por millón (ppm). Una muestra de los datos de operación de la planta se presenta a continuación:

     a) Ajustar un modelo de regresión lineal a los datos.

     b) Probar la significación de la regresión.

     c) Encontrar un intervalo de confianza de 95% para β₁.

10-3. Graficar los residuales del problema 10-1 y comentar la adecuación del modelo.

10-4. Graficar los residuales del problema 10-2 y comentar la adecuación del modelo.

10-5. Utilizando los resultados del problema 10-1, probar el modelo de regresión para la falta de ajuste.

10-6. Se realizó un estudio sobre el desgaste y de un cojinete y su relación con x₁=viscosidad del aceite y x₂ = carga. Se obtuvieron los siguientes datos:

     a) Ajustar un modelo de regresión lineal múltiple a los datos.

     b) Probar la significación de la regresión.

     c) Calcular el estadístico t para cada parámetro del modelo. ¿Qué conclusiones pueden sacarse?

10-7. Se piensa que la potencia al freno desarrollada por el motor de un automóvil en un dinamómetro es una función de la rapidez del motor en revoluciones por minuto (rpm), el octanaje del combustible y la compresión

del motor. Se llevó a cabo un experimento en el laboratorio y los datos colectados fueron:

     a) Ajustar un modelo de regresión múltiple a estos datos.

     b) Probar la significación de la regresión. ¿Qué conclusiones pueden sacarse?

     c) Con base en las pruebas t, ¿son necesarios los tres regresares en el modelo?

10-8. Analizar los residuales del modelo de regresión del problema 10-7. Comentar la adecuación del modelo.

10-9. El rendimiento de un proceso químico se relaciona con la concentración del reactivo y la temperatura de operación. Se realiza un experimento con los siguientes resultados:

     a) Suponga que quiere ajustarse un modelo de los efectos principales a estos datos. Establecer la matriz X'X utilizando los datos exactamente como aparecen en la tabla.

     b) ¿La matriz que se obtuvo en el inciso a es diagonal? Comentar la respuesta.

     c) Suponga que el modelo se escribe en términos de las variables codificadas "usuales"

Establecer la matriz X'X para el modelo en términos de estas variables codificadas. ¿Esta matriz es diagonal? Comentar la respuesta.

     d) Definir un nuevo conjunto de variables codificadas

Establecer la matriz X'X para el modelo en términos de este conjunto de variables codificadas. ¿Esta matriz es diagonal? Comentar la respuesta.

     e) Resumir lo que se haya aprendido acerca de la codificación de variables con este problema.

10-10. Considere el experimento factarial 2⁴ del ejemplo 6-2. Suponga que falta la última observación. Volver a analizar los datos y sacar conclusiones. ¿Cómo se comparan estas conclusiones con las del ejemplo original?

10-11. Considere el experimento factorial 2⁴ del ejemplo 6-2. Suponga que faltan las dos últimas observaciones.

Volver a analizar los datos y sacar conclusiones. ¿Cuál es el resultado de la comparación de estas conclusiones con las del ejemplo original?

10-12. Dados los datos siguientes, ajustar el modelo de regresión polinomial de segundo orden

Después de que se haya ajustado el modelo, probar la significación de la regresión.

10-13. a) Considere el modelo de regresión cuadrático del problema 10-12. Calcular los estadísticos t de cada uno de los parámetros del modelo y comentar las conclusiones a que se llega a partir de estas cantidades.

     b) Usar el método de la suma de cuadrados extra para evaluar el valor de los términos cuadráticos x₁², x₂² y x₁x₂ del modelo.

10-14. Relación entre el análisis de varianza y el análisis de regresión. Cualquier modelo del análisis de varianza puede expresarse en términos del modelo lineal general y=xβ+Ɛ, donde la matriz X se compone de ceros y unos.

Demostrar que el modelo con un solo factor y_ij = μ + τ_i + Ɛ_ij, i = 1, 2, 3, j= 1, 2, 3, 4 puede escribirse en la forma del modelo lineal general. Después

     a) Escribir las ecuaciones normales (X'X)β = X'y y compararlas con las ecuaciones normales que se encontraron en el capítulo 3 para este modelo.

     b) Encontrar el rango de X'X. ¿Es posible obtener (X'X)^-1?

     c) Suponga que se elimina la primera ecuación normal y se agrega la restricción ∑³_i=1nτ_i= 0. ¿Tiene solución el sisterila de ecuaciones resultante? De ser así, encontrarla. Hallar la suma de cuadrados de regresión β = X'y y compararla con la suma de cuadrados de los tratamientos del modelo con un solo factor.

10-15. Suponga que se está haciendo el ajuste de una línea recta y se desea hacerla varianza de β₁ tan pequeña como sea posible. Al trabajar con la restricción de un número par de puntos experimentales, ¿dónde deberán colocarse estos puntos para minimizar V(β₁)? (Nota: usar el diseño que se pide en este ejercicio con sumo cuidado, ya que, aun cuando minimiza V(β₁), tiene propiedades indeseables; ver, por ejemplo, Myers y

Montgomery [85a]. Únicamente si se tiene una gran seglllidad de que la verdadera relación funcional es lineal deberá considerarse el uso de este diseño.)

10-16. Mínimos cuadradosponderados. Suponga que se está ajustando la línea recta y = β₀ + β_1x + Ɛ, pero la varianza de las y depende ahora del nivel de x; es decir,

donde las w_¡ son constantes desconocidas, llamadas con frecuencia ponderaciones. Demostrar que si se eligen las estimaciones de los coeficientes de regresión para minimizar la suma de cuadrados de los errores ponderados dada por ∑(w_¡)ⁿ_i=1(y_i-β₀-β₁x_i)², las ecuaciones normales de mínimos cuadrados resultantes son

10-17. Considere el diseño 2^4-1_IV analizado en el ejemplo 10-5.

     a) Suponga que se opta por aumentar el diseño con la corrida única seleccionada en ese ejemplo. Encontrar las varianzas y las covarianzas de los coeficientes de regresión del modelo (ignorando los bloques):

     b) ¿Hay otras corridas de la fracción alterna que separarían los alias AB de CD?

     c) Suponga que el diseño se aumenta con las cuatro corridas sugeridas en el ejemplo 10-5. Encontrar las varianzas y las covarianzas de los coeficientes de regresión (ignorando los bloques) para el modelo del inciso a.

     d) Considerando los incisos a y c, ¿qué estrategia de aumento se preferiría y por qué?

10-18. Considere un diseño 2^7-4_m Suponga que después de correr el experimento, los efectos observados más grandes san A + BD, B +AD y D +AB. Quiere aumentarse el diseño original con un grupo de cuatro corridas para separar los alias de estos efectos.

     a) ¿Cuáles son las cuatro corridas que se harían?

     b) Encontrar las varianzas y las covarianzas de los coeficientes de regresión del modelo

     c) ¿Es posible separar los alias de estos efectos con menos de cuatro corridas adicionales?