11.2.- Método del Ascenso más Pronunciado

Frecuentemente la estimación inicial de las condiciones de operación óptimas del sistema estarán lejos del óptimo real. En tales circunstancias, el objetivo del experimentador es pasar con rapidez a la vecindad general del óptimo. Para ello desea usarse un procedimiento experimental económico y eficiente. Cuando se está muy lejos del óptimo, por lo general se supone que un modelo de primer orden es una aproximación adecuada de la verdadera superficie en una región pequeña de las x.

El método del ascenso más pronunciado es un procedimiento para moverse secuencialmente sobre la trayectoria del ascenso más pronunciado, es decir, en la dirección del incremento máximo de la respuesta. Desde luego, si lo que se pretende es una minimización, entonces esta técnica se llama método del descenso más pronunciado. El modelo ajustado de primer orden es

y la superficie de respuesta de primer orden, es decir, los·contornos de y', es una serie de líneas paralelas como las que se muestran en la figura 11-4. La dirección del ascenso más pronunciado es aquella enla que y se incrementa con mayor rapidez. Esta dirección es paralela a la normal de la superficie de respuesta ajustada. Por lo general se toma como la trayectoria del ascenso más pronunciado a la recta que pasa por el centro de la región de interés y que es normal a la superficie ajustada. Por lo tanto, los pasos sobre la

trayectoria son proporcionales a los coeficientes de regresión {β¡}. El tamaño real del paso lo determina el experimentador con base en el conocimiento del proceso o de otras consideraciones prácticas.

Se conducen experimentos sobre la trayectoria del ascenso más pronunciado hasta que deja de observarse un incremento adicional en la respuesta. Entonces puede ajustarse un nuevo modelo de primer orden, determinarse una nueva trayectoria del ascenso más pronunciado y el procedimiento continúa. En última instancia, el experimentador llegará a la vecindad del óptimo. En general, la falta de ajuste del modelo de primer orden indica que se ha llegado a ella. En este momento se realizan experimentos adicionales para obtener una estimación más precisa del óptimo.

EJEMPLO 11-1.

Un ingeniero químico está interesado en determinar las condiciones de operación que maximizan el rendimiento de un proceso. Dos variables controlables influyen en el rendimiento del proceso: el tiempo de reacción y la temperatura de reacción. El ingeniero opera actualmente el proceso con un tiempo de reacción de 35 minutos y una temperatura de 155°F, que dan como resultado rendimientos de cerca de 40%. Puesto que es improbable que esta región contenga el óptimo, el ingeniero ajusta un modelo de primer orden y aplica el método del ascenso más pronunciado. 

El ingeniero decide que la región de exploración para ajustar el modelo de primer orden deberá ser (30,40) minutos de tiempo de reacción y (150, 160) °F. Para simplificar los cálculos, las variables independientes se codificarán en el intervalo usual (-1,1). Por lo tanto, si Ɛ₁ denota la variable natural tiempo y Ɛ₂ la variable natural temperatura, entonces las variables codificadas son

El diseño experimental se muestra en la tabla 11-1. Observe que el diseño usado para recabar estos datos es un factorial 2² aumentado con cinco puntos centrales. Las réplicas del centro se usan para estimar el error experimental y permitir la verificación de la adecuación del modelo de primer orden. Además, el diseño está centrado alrededor de las condiciones de operación actuales del proceso.

Es posible ajustar un modelo de primer orden a estos datos por el procedimiento de mínimos cuadrados. Aplicando los métodos para diseños de dos niveles se obtiene el siguiente modelo en las variables codificadas:

Antes de explorar a lo largo de la trayectoria del ascenso más pronunciado, deberá investigarse la adecuación del modelo de primer orden. El diseño 2² con puntos centrales permite al experimentador

     1. Obtener una estimación del error.

     2. Verificar las interacciones (o términos de productos cruzados) del modelo.

     3. Verificar los efectos cuadráticos (curvatura).

Las réplicas del centro pueden usarse para calcular una estimación del error de la siguiente manera:

En el modelo de primer orden se supone que las variables x₁ y x₂ tienen un efecto aditivo sobre la respuesta. La interacción entre las variables se representaría por el coeficiente β₁₂ del término de un producto cruzado x₁x₂ sumado al modelo. La estimación de mínimos cuadrados de este coeficiente es simplemente la mitad del efecto de la interacción que se calcula como en un diseño factorial 2² ordinario, o

La suma de cuadrados de la interacción con un solo grado de libertad es

Al comparar SS_Interacción con σ² se obtiene el estadístico para la falta de ajuste

que es pequeño, lo cual indica que la interácción es insignificante.

Otra verificación de la adecuación del modelo de línea recta se obtiene aplicando la verificación del efecto de curvatura cuadrática pura de la sección 6-6. Recuerde que ésta consiste en comparar la respuesta promedio en los cuatro puntos de la porción factorial del diseño, por ejemplo y'_F = 40.425, con la respuesta promedio en el centro del diseño, por ejemplo y'_C = 40.46. Si existe curvatura cuadrática en la verdadera función de la respuesta, entonces y'_F - y'_C es una medida de esta curvatura. Si β₁₁ y β₂₂ son los coeficientes de los términos "cuadráticos puros" x¡ y x~, entoncesYF-Ye es una estimación de β₁₁ + β₂₂. En el ejemplo tratado aquí, una estimación del término cuadrático puro es

La suma de cuadrados con un solo grado de libertad asociada con la hipótesis nula, H₀:β₁₁+ β₂₂ = 0, es

donde n_F y n_C son el número de puntos de la porción factorial y el número de puntos centrales, respectivamente. Puesto que

es pequeño, no hay indicios de un efecto cuadrático puro.

En la tabla 11-2 se resume el análisis de varianza de este modelo. Las verificaciones de lainteracción y la curvatura no son significativas, mientras que la prueba F de la regresión global es significativa. Además, el error estándar de β'₁ y β'₂ es

Ambos coeficientes de regresión β'₁  y β'₂ son grandes en comparación con sus errores estándar. En este punto no hay razón para cuestionar la adecuación del modelo de primer orden.

Para apartarse del centro del diseño - el punto (x₁ =0, x₂ =0) - sobre la trayectoria del ascenso más pronunciado, se haría un movimiento de 0.775 unidades en la dirección x₁ por cada 0.325 unidades en la dirección x₂. Por lo tanto, la trayectoria del ascenso más pronunciado pasa por el punto (x₁ =0, x₂ =0) y tiene pendiente 0.325/0.775. El ingeniero decide usar 5 minutos de tiempo de reacción como tamaño básico del paso. Al utilizar la relación entre Ɛ₁ y x₁, se observa que 5 minutos de tiempo de reacción es equivalente a un paso en la variable codificada x₁ de Δx₁ = 1. Por lo tanto, los pasos sobre la trayectoria del ascenso más pronunciado son Δx₁ = 1.0000 y Δx₂ = (0.325/0.775) Δx₁ = 0.42.

El ingeniero calcula puntos sobre esta trayectoria y observa los rendimientos en los mismos hasta que se nota un decremento en la respuesta. En la tabla 11-3 se muestran los resultados tanto en variables codificadas como naturales. Aun cuando la manipulación matemática de las variables codificadas es más sencilla, deben usarse las variables naturales cuando se corre el proceso. En la figura 11-5 se grafica el 

rendimiento en cada paso de la trayectoria del ascenso más pronunciado. Se observan incrementos de la respuesta hasta el décimo paso; sin embargo, todos los pasos después de este punto resultan en un decremento del rendimiento. Por lo tanto, deberá ajustarse otro modelo de primer orden en la vecindad general del punto (Ɛ₁ = 85, Ɛ₂ = 175).

Se ajusta un nuevo modelo de primer orden alrededor del punto (Ɛ₁ =85, Ɛ₂ = 175). La región de exploración para Ɛ₁ es [80, 90] Y para Ɛ₂ es [170, 180]. Por lo tanto, las variables codificadas son

De nueva cuenta se usa un diseño 2² con cinco puntos centrales. El diseño experimental se muestra en la tabla 11-4.

El ajuste del modelo de primer orden a las variables codificadas de la tabla 11-4 es

En la tabla 11-5 se presenta el análisis de varianza de este modelo, incluyendo las verificaciones de la interacción y del término cuadrático puro. Las verificaciones de la interacción y del término cuadrático puro implican que el modelo de primer orden no es una aproximación adecuada. Esta curvatura en la verdadera superficie puede indicar que el experimentador se encuentra cerca del óptimo. En este punto es necesario hacer análisis adicionales para localizar el óptimo con mayor precisión.

Por el ejemplo 11-1 se observa que la trayectoria del ascenso más pronunciado es proporcional a los signos y magnitudes de los coeficientes de regresión del modelo ajustado de primer orden

Es sencillo dar un algoritmo general para determinar las coordenadas de un punto sobre la trayectoria del ascenso más pronunciado. Suponga que el punto x₁ = x₂ = ... = x_k = 0 esla base o punto origen. Entonces

     1. Se elige el tamaño del paso en una de las variables del proceso, por ejemplo Δx_j. En general, se seleccionaría la variable de la que se tenga mayor información, o se seleccionaría la variable que tiene el coeficiente de regresión absoluto |β'_j| más grande

     2. El tamaño del paso de las otras variables es

     3. Se convierten las &¡ de variables codificadas a variables naturales.

Para ilustrar, considere la trayectoria del ascenso más pronunciado calculada en el ejemplo 11-1.

Puesto que x₁ tiene el coeficiente de regresión más grande, se selecciona el tiempo de reacción como la variable del paso 1 del procedimiento anterior. Cinco minutos de tiempo de reacción es el tamaño del paso (con base en el conocimiento del proceso). En términos de las variables codificadas, éste es Δx₁ =1.0. Por lo tanto, por el lineamiento 2, el tamaño del paso de la temperatura es

Para convertir los tamaños de los pasos codificados (Δx₁ = 1.0 y Δx₂ = 0.42) a las unidades naturales de tiempo y temperatura, se usan las relaciones

que dan como resultado

y