11.3.1.- Localización del Punto Estacionario

Suponga que quieren encontrarse los niveles de x₁, x₂, ..., x_k que optimizan la respuesta predicha. Este punto, en caso de existir, será el conjunto de las x₁, x₂, ..., x_k para las que las derivadas parciales δy'/δx₁=δy'/δx₂=...=δy'/δx_k=0. A este punto, por ejemplo x_1,s, x_2,s, ..., x_k,s, se le llama punto estacionario. El punto estacionario podría representar 1) un punto de respuesta máxima, 2) un punto de respuesta mínima, o 3) un punto silla. Estas tres posibilidades se ilustran en las figuras 11-6 a 11-8.

Las gráficas de contorno desempeñan un papel muy importante en el estudio de las superficies de respuesta. Mediante la generación de gráficas de contorno utilizando software de computadora para el

análisis de superficie de respuesta, el experimentador puede por lo general caracterizarla forma de la superficie y localizar el óptimo con una precisión razonable.

Es posible obtener una solución matemática general para la localización del punto estacionario. Al escribir el modelo de segundo orden en notación matricial, se tiene

donde

Es decir, b es un vector (k x 1) de los coeficientes de regresión de primer orden y B es una matriz simétrica (k x k) cuyos elementos de la diagonal principal son los coeficientes cuadráticospuros (β'_ii) y cuyos elementos que están fuera de la diagonal son la mitad de los coeficientes cuadráticos mixtos (β'_ij, i≠j). La derivada de y' con respecto a los elementos del vector x igualada con 0 es

El punto estacionario es la solución de la ecuación 11-6, o

Además, al sustituir la ecuación 11-7 en la 11-5, la respuesta predicha en el punto estacionario puede encontrarse como