11.3.4.- Respuestas Múltiples

Muchos problemas de superficies de respuesta incluyen el análisis de varias respuestas, como en el ejemplo 11-2, donde el experimentador midió tres. En dicho ejemplo, el proceso se optimizó únicamente con respecto a la respuesta rendimiento y₁.

La consideración simultánea de respuestas múltiples requiere construir primero un modelo de superficie de respuesta apropiado para cada respuesta y después intentar encontrar un conjunto de condiciones de operación que optimice en cierto sentido todas las respuestas o que al menos las mantenga en los rangos deseados. Un estudio completo del problema de las respuestas múltiples se ofrece en Myers y Montgomery [85a].

En el ejemplo 11-2 pueden obtenerse modelos para las respuestas viscosidad y peso molecular (y₂ y y₃, respectivamente) de la siguiente manera:

En términos de los niveles naturales del tiempo (Ɛ₁) y la temperatura (Ɛ₂), estos modelos son

y

En las figuras 11-14y 11-15 se presentan las gráficas de contorno y superficie de respuesta para estos modelos.

Un enfoque relativamente directo para optimizar varias respuestas que funciona bien cuando sólo hay pocas variables en el proceso es la superposición de las gráficas de contorno de cada respuesta. En la figura 11-16 se muestra una gráfica de superposición para las tres respuestas del ejemplo 11-2, con los contornos para los que y₁ (rendimiento) ≥ 78.5, 62 ≤ y₂ (viscosidad) ≤ 68, y y₃ (peso molecular Mn) ≤ 3400.

Si estos límites representan condiciones importantes que el proceso debe satisfacer, entonces, como se muestra en la porción no sombreada de la figura 11-16, existen varias combinaciones del tiempo y la temperatura que resultarán en un proceso satisfactorio. El experimentador puede hacer el examen visual de

la gráfica de contorno para determinar las condiciones de operación apropiadas. Por ejemplo, es posible que el experimentador esté más interesado en la región más grande de las dos regiones factibles que se muestran en la figura 11-16.

Cuando hay más de tres variables del diseño, se hace muy complicada la superposición de las gráficas de contorno, ya que la gráfica de contorno es bidimensional, y k - 2 de las variables deldiseño deben mantenerse constantes para construir la gráfica. Con frecuencia se necesita una gran cantidad de ensayo y error para determinar cuáles son los factores que deben mantenerse constantes y qué niveles seleccionar para obtener la mejor vista de la superficie. Por lo tanto, existe interés práctico en métodos de optimización más formales para las respuestas múltiples.

Un enfoque popular consiste en formular y resolver el problema como un problema de optimización restringida. Para ilustrar este enfoque utilizando el ejemplo 11-2, el problema podría formularse como

Se cuenta con varias técnicas numéricas que pueden usarse para resolver este problema. En ocasiones se hace referencia a estas técnicas como métodos de programación no lineal. El paquete de software Design-Expert resuelve esta versión del problema utilizando un procedimiento de búsqueda directa. Las dos soluciones encontradas son

y

Observe que la primera solución es la región factible superior (la más pequeña) del espacio del diseño (referirse a la figura 11-16), mientras que la segunda solución es la región más grande. Ambas soluciones están muy cerca de los límites de las restricciones.

Otro enfoque útil para la optimización de respuestas múltiples es usar la técnica de optimización simultánea popularizada por Derringer y Suich [37]. Su procedimiento hace uso de las funciones con condición de deseable. El enfoque general consiste en convertir primero cada respuesta y_i en una función con condición de deseable individual d_i que varía en el rango

donde si la respuesta y_i está en su meta u objetivo; entonces d_i = 1, y si la respuesta está fuera de una región aceptable, d_i = 0. Despuéslas variables del diseño se eligen para maximizarla condición de deseable global

donde hay m respuestas.

Las funciones con condición de deseable individual están estructuradas como se indica en la figura 11-17. Si el objetivo T para la respuesta y es un valor máximo,

cuando la ponderación r = 1, la función con condición de deseable es lineal. Al elegir r > 1 se pone más interés en estar cerca del valor objetivo, y cuando se elige 0 < r < 1 esto tiene menos importancia. Si el objetivo para la respuesta es un valor mínimo,

La función con condición de deseable de dos colas que se muestra en la figura 11-17c supone que el objetivo se localiza entre los límites inferior (L) Ysuperior (U), y se define como

Se usó el paquete de software Design-Expert para resolver el ejemplo 11-2 utilizando el enfoque de la función con condición de deseable. Se eligió T = 80 como el objetivo para la respuesta rendimiento, U = 70, y se fijó la ponderación de esta condición de deseable individual igual a la unidad. Se hizo T = 65 para la respuesta viscosidad con L = 62 y U = 68 (para ser consistente con las especificaciones), con ambas ponderaciones r₁ = r₂ = 1. Por último, se indicó que cualquier peso molecular abajo de 3400 era aceptable. Se encontraron dos soluciones.

Solución 1:

Solución 2:

La solución 1 tiene la condición de deseable global más alta. Observe que resulta en una viscosidad acorde con el objetivo y en un peso molecular aceptable. Esta solución está contenida en la más grande de las dos regiones de operación de la figura 11-16, mientras que la segunda solución está contenida en la región más pequeña. En la figura 11-18 se muestran las gráficas de la superficie de respuesta y de contorno de la función con condición de deseable global D.