11.5.- Experimentos con Mezclas

En las secciones anteriores se presentaron diseños de superficie de respuesta para aquellas situaciones en las que los niveles de cada factor son independientes de los niveles de otrosfactores. En los experimentos con mezclas, los factores son los componentes o ingredientes de una mezcla y, por consiguiente, sus niveles no son independientes. Por ejemplo, si x₁, x₂, ..., x_p denota las proporciones de p componentes de una mezcla, entonces

y

Estas restricciones se ilustran gráficamente en la figura 11-30 para p = 2 y p = 3 componentes. Para dos componentes, el espacio de los factores del diseño incluye todos los valores de los dos componentes que están sobre el segmento de recta x₁ + x₂ = 1, con cada componente siendo acotado por 0 y 1. Con tres componentes, el espacio de la mezcla es un triángulo con vértices que corresponden a las formulaciones que son mezclas puras (mezclas que son 100% de un solo componente).

Cuando hay tres componentes en la mezcla, la región experimental restringida puede representarse convenientemente en papel milimétrico trilineal, como se muestra en la figura 11-31. Cada uno de los tres lados de la gráfica de la figura 11-31 representa una mezcla que no contiene nada de alguno de los tres componentes (el componente indicado en el vértice opuesto). Las nueve líneas de graduación en cada dirección marcan incrementos de 10% en el componente respectivo.

Los diseños símplex se usan para estudiar los efectos de los componentes de una mezcla sobre la variable de respuesta. Un diseño símplex reticular {p, m} para p componentes consta de los puntos definidos por los siguientes arreglos de las coordenadas: las proporciones asumidas por cada componente toman los m + 1 valores que están separados por una distancia igual de 0 a 1,

y se usan todas las combinaciones posibles (mezclas) de las proporciones de la ecuación 11-21. Como un ejemplo, sean p = 3 y m = 2. Entonces

y el diseño símplex reticular consta de las seis corridas siguientes:

En la figura 11-32 se ilustra este diseño. Los tres vértices (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) son las mezclas puras, mientras que los puntos (1/2, 1/2, 0), (1/2, 0, 1/2) y (0, 1/2, 1/2) son mezclas binarias o mezclas de dos componentes localizadas en los puntos medios de los tres lados del triángulo. En la figura 11-32 se muestran también los diseños símplex reticulares {3, 3}, {4, 2} Y{4, 3}. En general, el número de puntos en un diseño símplex reticular {p, m} es

Una alternativa del diseño símplex reticular es el diseño símplex de centroide. En un diseño símplex de centroide con p componentes, hay 2^p -1 puntos, que corresponden a las p permutaciones de (1, 0, 0, ..., 0), las (^p₂) permutaciones de (1/2, 1/2, 0, ..., 0), las (^p₃) permutaciones de (1/3, 1/3, 1/3, 0, ..., 0), ..., y el centroide global (1/p, 1/p, ..., 1/p). En la figura 11-33 se muestran algunos diseños símplex de centroide.

Una crítica a los diseños símplex descritos antes es que la mayoría de las corridas ocurren en la frontera de la región y, por consiguiente, incluyen sólo p -1 de los p componentes. Suele ser deseable aumentar el diseño símplex reticular o de centroide con puntos adicionales en el interior de la región donde las mezclas estarán formadas por la totalidad de los p componentes. Para un estudio más amplio, ver Comell [33] y Myers y Montgomery [85a].

Los modelos para mezclas difieren de los polinomios usuales empleados en los diseños de superficie de respuesta debido a la restricción ∑x_¡ = 1. Las formas estándares de los modelos para mezclas que se usan ampliamente son

Lineal:

Cuadrático:

Cúbico completo:

Cúbico especial:

Los términos de estos modelos tienen interpretaciones relativamente simples. En las ecuaciones 11-22 a 11-25, el parámetro β¡ representa la respuesta esperada para la mezcla pura x_¡ = 1y x_j = 0 cuando j≠i. A la porción ∑^p_i=1β¡x_¡ se le llama porción de mezcla lineal. Cuando hay curvatura derivada de una mezcla no lineal entre pares de componentes, los parámetros β¡j representan una mezcla sinérgica o bien antagónica. Los términos de órdenes superiores suelen ser necesarios en los modelos para mezclas porque 1) losfenómenos estudiados pueden ser complejos y 2) la región experimental con frecuencia esla región de operabilidad completa y, en consecuencia, es grande y requiere un modelo elaborado.

EJEMPLO 11-3 

Una mezcla de tres componentes

Comell [33] describe el experimento con una mezcla en el que se combinaron tres componentes -polietileno (x₁), poliestireno (x₂)y polipropileno (x₃)- para hilar una fibra que se usará en cortinas. La variable de respuesta de interés es la elongación del hilo en kilogramos de fuerza aplicada. Se usa un diseño símplex reticular para estudiar el producto. El diseño y las respuestas observadas se muestran en la tabla 11-13.

Observe que todos los puntos del diseño incluyen mezclas puras o binarias; es decir, únicamente se usan a lo sumo dos de los tres componentes en cualquierformulación del producto. También se corren réplicas de las observaciones, con dos réplicas de cada una de las mezclas puras y tres réplicas de cada una de las mezclas binarias. La desviación estándar del error puede estimarse a partir de estas réplicas de las observaciones como σ'= 0.85. Cornell ajusta el polinomio de segundo grado de lamezcla a los datos, obteniendo

Puede demostrárse que este modelo es una representación adecuada de la respuesta. Observe que como β'₃ > β'₁ > β'₂, se concluiría que el componente 3 (polipropileno) produce el hilo con la elongación máxima. Además, puesto que β'₁₂ y β'₁₃ son positivos, la mezcla de los componentes 1 y 2 o de los componentes 1 y 3 produce valores más altos de la elongación de los que se esperarían si nos limitáramos a promediar las elongaciones de las mezclas puras. Se trata de un ejemplo de los efectos de mezclado "sinérgicos". Los componentes 2 y 3 tienen efectos de mezclado antagónicos, ya que β'₂₃ es negativa.

En la figura 11-34 se grafican los contornos de la elongación, lo cual puede ser de utilidad para interpretar los resultados. Al examinar la figura, se observa que si se desea la elongación máxima, deberá elegirse la mezcla de los componentes 1y 3, la cual está formada por aproximadamente 80% del componente 3 y 20% del componente 1.

Se señaló ya que los diseños símplex reticular y símplex de centroide son diseños de puntos frontera. Si el experimentador quiere hacer predicciones acerca de las propiedades de mezclas completas, sería muy deseable contar con más corridas en el interior del símplex. Se recomienda aumentar los diseños símplex ordinarios con corridas axiales y el centroide global (si el centroide no es ya un punto del diseño).

El eje del componente i es la recta o rayo que se extiende del punto base x_¡ = 0, x_j = 1/(p -1), para toda j≠i, al vértice opuesto donde x_¡ = 1, x_j = 0 para toda j≠i. El punto base siempre se localizará en el centroide de la frontera de (p - 2) dimensiones del diseño símplex que está opuesto al vértice x_¡ =1, x_j =0 para toda j≠i. [A la frontera se le llama en ocasiones el (p - 2)-llano.] La longitud del eje del componente es una unidad. Los puntos axiales se sitúan sobre los ejes de los componentes a una distancia Δ del centroide. El valor máximo de Δ es (p -1)/p. Se recomienda que las corridas axiales se coloquen a lamitad entre el centroide del diseño símplexy cada vértice para que Δ = (p -1)/2p. En ocasiones a estos puntos se les llama mezclas de verificación axial, porque es una práctica común excluirlas cuando se ajusta el modelo preliminar de la mezcla y usar después las respuestas en estos puntos axiales para verificar la adecuación del ajuste del modelo preliminar.

En la figura 11-35 se muestra el diseño símplex reticular {3, 2} aumentado con los puntos axiales. Este diseño tiene 10 puntos, con cuatro de ellos en el interior del diseño símplex. La retícula símplex {3, 3} soportará el ajuste del modelo cúbico completo, mientras que la retícula símplex aumentada no lo hará; sin embargo, la retícula símplex aumentada permitirá al experimentador ajustar el modelo cúbico especial o agregar al modelo cuadrático términos especiales de cuarto orden, como β₁₂₃₃x₁x₂x²₃. La retícula símplex aumentada es superior para estudiar la respuesta de mezclas completas en el sentido de que puede detectar y modelar la curvatura en el interior del triángulo que no puede tomarse en consideración por los términos del modelo cúbico completo. La retícula símplex aumentada tiene más potencia para detectar la falta de ajuste que la retícula {3, 3}. Esto es de particular utilidad cuando el experimentador no está seguro acerca del modelo apropiado que debe usar y también planea construir un modelo secuencialmente empezando con un polinomio simple (quizá de primer orden), probar el modelo para la falta de ajuste, después aumentar el modelo con términos de órdenes superiores, probar el nuevo modelo para la falta de ajuste y así sucesivamente.

En algunos problemas de mezclas surgen restricciones sobre los componentes individuales. Las restricciones sobre la frontera inferior de la forma

son muy comunes. Cuando sólo están presentes restricciones sobre la frontera inferior, la región factible del diseño sigue siendo un diseño símplex, pero se inscribe dentro de la región del símplex original. Esta situación puede simplificarse mediante la introducción de pseudocomponentes, definidos como

con ∑^p_j=1l<1. Entonces

por lo que el uso de pseudocomponentes permite utilizar diseños tipo símplex cuando las fronteras inferiores forman parte de la situación experimental. Las formulaciones especificadas por el diseño símplex para los pseudocomponentes se transforman en formulaciones para los componentes originalesinvirtiendo la transformación de la ecuación 11-26. Es decir, si x'_i es el valor asignado al pseudocomponente i-ésimo en una de las corridas del experimento, el componente i-ésimo de la mezcla original es

Cuando los componentes tienen restricciones tanto sobre la frontera superior como la inferior, la región factible deja de ser un diseño símplex; será, en cambio, un politopo irregular. Puesto que la región experimental no tiene una forma "estándar", los diseños generados por computadora son muyútiles para este tipo de problemas de mezclas.

EJEMPLO 11-4 

Formulación de una pintura

Un experimentador está intentando optimizar la formulación de una pintura automotriz de recubrimiento total. Se trata de productos complejos que tienen requerimientos de desempeño muy específicos. El cliente quiere, en particular, que la dureza Knoop exceda de 25 y que el porcentaje de sólidos esté abajo de 30. El recubrimiento total es una mezcla de tres componentes, que consiste en un monómero (x₁), un entrelazador (x₂) y una resina (x₃). Existen restricciones sobre las proporciones de los componentes:

El resultado es la región de experimentación restringida ilustrada en la figura 11-36. Puesto que la región de interés no es símplex, se usará un diseño optimal D para este problema. Suponiendo que posiblemente ambas respuestas serán modeladas con un modelo cuadrático de una mezcla, el diseño optimal D ilustrado en la figura 11-36 puede generarse utilizando Design-Expert.

Se supuso que, además de las seis corridas requeridas para ajustar el modelo cuadrático de una mezcla, se harían cuatro corridas diferentes adicionales para verificar la falta de ajuste y que se harían réplicas de cuatro de estas corridas a fin de proporcionar una estimación del error puro. Design-Expert utilizó los vértices, los centros en los bordes, el centroide global y las corridas de verificación (los puntos localizados a la mitad entre el centroide y los vértices) como los puntos candidatos.

El diseño con 14 corridas se muestra en la tabla 11-14 junto con las respuestas dureza y sólidos. Los resultados del ajuste de modelos cuadráticos para ambas respuestas se resumen en las tablas 11-15 y 11-16. Observe que los modelos cuadráticos se ajustan muy bien tanto a la respuesta dureza como a la respuesta sólidos. En estas tablas se muestran las ecuaciones ajustadas para ambas respuestas (en términos de los pseudocomponentes). En las figuras 11-37 y 11-38 se muestran las gráficas de contorno de las respuestas.

La figura 11-39 es una gráfica de superposición de las dos superficies de respuesta, donde se muestra el contorno de la dureza Knoop de 25% y el contorno de 30% para los sólidos. La región factible para este producto es el área sin sombrear cerca del centro de la gráfica. Evidentemente, existen varias elecciones para las proporciones del monómero, el entrelazador y la resina para el recubrimiento total que redundará en un producto que satisfaga los requerimientos de desempeño.